鱼类技巧

交叉

当 显单 和 隐单 无法继续推进时，我们需要更高级的技巧。 交叉 （Intersection）是一个非常实用的初级技巧。

交叉 是利用一个候选数在两个相交的区域中的所在位置，来消除候选数的技巧。

交叉通常分为两种情况： 交叉消除行/列 （Pointing）和 交叉消除宫 （Claiming）。

交叉消除行/列

当候选数在一个宫中只出现在同一行（或同一列）时，根据数独规则，这些格子中的一个必须填写这个数字，所以可以消除在这一行（或这一列）的其他格子中的该候选数。

这是一个 交叉消除列 的示例，图中 宫6 （蓝色区域）中的候选数 6 ，只出现在 列G （绿色区域）中，所以，我们知道格子 G4 、 G5 中必然有一个填 6 ，所以， 列G 中其它格子中的候选数 6 可以消除。

这是一个 交叉消除行 的示例，图中 宫7 （蓝色区域）中的候选数 7 ，只出现在 行8 （绿色区域）中，所以，我们知道格子 B8 、 C8 中必然有一个填 7 ，所以， 行8 中其它格子中的候选数 7 可以消除。

交叉消除宫

当候选数在一行（或一列）中只出现在同一个宫内时，根据数独规则，这些格子中的一个必须填写这个数字，所以可以消除在该宫其他格子中的这个候选数。

图中 行3 （蓝色区域）中的候选数 8 ，只出现在 宫3 （绿色区域）中，所以，我们知道格子 H3 、 I3 中必然有一个填 8 ，因此， 宫3 中其他格子中的候选数 8 可以消除。

图中 列D （蓝色区域）中的候选数 7 ，只出现在 宫8 （绿色区域）中，所以，我们知道格子 D7 、 D8 、 D9 中必然有一个填 7 ，因此， 宫8 中其他格子中的候选数 7 可以消除。

基础鱼

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鱼 （Fish）是数独中级水平必须掌握的核心技巧，在解题时经常能发挥关键作用。

和 隐集 类似， 鱼 也是通过观察候选数在 区域 中的分布来消除候选数。不同之处在于， 鱼 技巧需要观察两组相交的 区域 ，我们把它们分别称为 基础区域 （Base Regions）和 覆盖区域 （Cover Regions）。

鱼 技巧根据 基础区域 的数量来划分等级 n ，下面我们通过具体例子来学习。

独眼鱼

独眼鱼 （Cyclopsfish）是 鱼 n = 1 的情况。也就是 1 个 基础区域 中候选数所出现的格子，被 1 个 覆盖区域 覆盖。

图中候选数 4 在 基础区域 列G （蓝色区域）中出现的格子为 {G4, G5} （图中为绿色候选数），全部被 覆盖区域 宫6 （绿色区域）覆盖。

独眼鱼 消除候选数的原理是什么？

可以这样理解：候选数 4 在 基础区域 中出现的位置，全部都在 基础区域 和 覆盖区域 的交集里（也就是格子 {G4, G5, G6} ）。

根据数独规则，每个区域都必须填写 1 个 4 。因为 基础区域 列G 中的 候选数 4 只出现在交集格子里，所以交集里必定要填写 1 个 4 。

同样， 覆盖区域 宫6 里也必须要填写 1 个 4 。既然交集里已经填写 1 个 4 了，那么 宫6 中其他格子就不能再填 4 ，所以 宫6 中其他格子的候选数 4 可以消除。

推广

上面的消除逻辑可以推广到 n 个 基础区域 和 n 个 覆盖区域 的情况。假设候选数为 x 。

鱼 的一般定义：

对于一个候选数 x ，如果它在 n 个 同类型 （不相交）的 基础区域 中出现的格子，全部都被另外 n 个 同类型 （不相交）的 覆盖区域 覆盖，这种模式就称为 鱼 。

鱼 的一般消除逻辑：

根据数独规则， n 个 基础区域 中必须填写 n 个 x ，而候选数 x 都出现在 基础区域 和 覆盖区域 的交集里，所以交集里要填写 n 个 x 。

同样， n 个 覆盖区域 中也必须填写 n 个 x 。既然交集里已经填写 n 个 x 了，那么 覆盖区域 中交集外的格子就不能再填 x ，所以 覆盖区域 中交集外的格子中的候选数 x 可以消除。

这就是鱼的核心逻辑，下面我们来看更多例子。

X翼

X翼 （X-Wing）是 鱼 n = 2 的情况。

图中候选数 5 在 基础区域 行3 和 行5 （蓝色区域）中出现的格子，全部被 覆盖区域 列C 和 列E （绿色区域）覆盖。

也就是说候选数 5 在 基础区域 中只出现在 基础区域 和 覆盖区域 的交集 {C3, E3, C5, E5} 里。

因此， 覆盖区域 中交集外的格子不能填 5 。所以 C6 和 E6 中的候选数 5 可以消除。

图中候选数 4 在 基础区域 列E 和 列H （蓝色区域）中出现的格子，全部被 覆盖区域 行3 和 行4 （绿色区域）覆盖。

也就是说候选数 4 在 基础区域 中只出现在 基础区域 和 覆盖区域 的交集 {E3, H3, E4, H4} 里。

因此， 覆盖区域 中交集外的格子不能填 4 。所以 A3 、 B3 和 C3 中的候选数 4 可以消除。

箭鱼

箭鱼 （Swordfish）是 鱼 n = 3 的情况。

图中候选数 1 在 基础区域 行2 、 行4 和 行7 （蓝色区域）中出现的格子，全部被 覆盖区域 列B 、 列E 和 列G （绿色区域）覆盖。

也就是说候选数 1 在 基础区域 中只出现在 基础区域 和 覆盖区域 的交集 {B2, E2, G2, B4, E4, G4, B7, E7, G7} 里。

因此， 覆盖区域 中交集外的格子不能填 1 。所以 G3 中的候选数 1 可以消除。

图中候选数 9 在 基础区域 行3 、 行5 和 行7 （蓝色区域）中出现的格子，全部被 覆盖区域 列C 、 列E 和 列I （绿色区域）覆盖。

也就是说候选数 9 在 基础区域 中只出现在 基础区域 和 覆盖区域 的交集 {C3, E3, I3, C5, E5, I5, C7, E7, I7} 里。

因此， 覆盖区域 中交集外的格子不能填 9 。所以 I2 、 C6 、 E6 和 C9 中的候选数 9 可以消除。

水母

水母 （Jellyfish）是 鱼 n = 4 的情况。

图中候选数 1 在 基础区域 行1 、 行4 、 行5 和 行7 （蓝色区域）中出现的格子，全部被 覆盖区域 列B 、 列C 、 列G 和 列I （绿色区域）覆盖。

也就是说候选数 1 在 基础区域 中只出现在 基础区域 和 覆盖区域 的交集 {B1, C1, G1, I1, B4, C4, G4, I4, B5, C5, G5, I5, B7, C7, G7, I7} 里。

因此， 覆盖区域 中交集外的格子不能填 1 。所以 C2 和 I8 中的候选数 1 可以消除。

图中候选数 6 在 基础区域 行3 、 行5 、 行6 和 行8 （蓝色区域）中出现的格子，全部被 覆盖区域 列B 、 列C 、 列F 和 列I （绿色区域）覆盖。

也就是说候选数 6 在 基础区域 中只出现在 基础区域 和 覆盖区域 的交集 {B3, C3, F3, I3, B5, C5, F5, I5, B6, C6, F6, I6, B8, C8, F8, I8} 里。

因此， 覆盖区域 中交集外的格子不能填 6 。所以 B4 和 C7 中的候选数 6 可以消除。

带鳍鱼

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带鳍鱼 （Finned Fish）是普通 鱼 技巧的一种变体。

在寻找 鱼 模式时，有时 覆盖区域 无法完全覆盖 基础区域 中的所有候选数。这些没被覆盖的候选数就叫 鳍 （Fin），含有 鳍 的格子我们称为 鳍格子 （Fin Cell）。我们仍然有可能消除候选数。

带鳍X翼

让我们通过一个例子来学习 带鳍鱼 技巧。

图中， 基础区域 （蓝色区域）是 行4 和 行9 ， 覆盖区域 （绿色区域）是 列B 和 列F ，候选数是 7 。我们观察到 E9 中的候选数 7 （蓝色候选数）虽然在 基础区域 中，却没被覆盖。

这种在 基础区域 中未被覆盖的候选数就叫 外鳍 （Exo Fin），是 鳍 （Fin）的一种。

那怎么消除呢？我们可以这样理解：

第一种情况：如果所有 鳍格子 都不填 7 ，那这就是一个普通的 X翼 ，按正常方式消除橘色和红色的候选数。

第二种情况：如果 鳍格子 里至少有一个填 7 ，那么，任何能同时看到所有 鳍格子 的格子，里面的 7 都可以消除。

这两种情况总有一个是对的。所以，能被两种情况同时消除的 7 ，肯定可以去掉。

简单说，就是普通 鱼 要消除候选数的格子中，那些能同时看到所有 鳍格子 的格子，里面的 7 可以消除。

因此， F8 中的 7 可以消除，因为 F8 既是普通 X翼 要消除候选数的格子，又能看到唯一的 鳍格子 {E9} 。

我们再看第二个例子。

图中， 基础区域 （蓝色区域）是 列C 和 列F ， 覆盖区域 （绿色区域）是 行6 和 行8 ，候选数是 2 。 C5 中的候选数 2 （蓝色候选数）未被覆盖，成为 鳍 。

普通消除会去掉 A8 和 A6 中的 2 （橘色和红色候选数）。其中只有 A6 能看到唯一的 鳍格子 {C5} ，所以 A6 中的 2 可以消除。

带鳍箭鱼

图中， 基础区域 （蓝色区域）是 列B 、 列G 和 列I ， 覆盖区域 （绿色区域）是 行3 、 行4 和 行8 ，候选数是 2 。 {G5, I5, G6} 中的候选数 2 （蓝色候选数）未被覆盖，成为 鳍 。

普通消除会去掉 {E3, F3, H3, C4, H4} 中的 2 （橘色和红色候选数）。其中只有 H4 能同时看到所有 鳍格子 {G5, I5, G6} ，所以 H4 中的 2 可以消除。

图中， 基础区域 （蓝色区域）是 行1 、 行3 和 行8 ， 覆盖区域 （绿色区域）是 列B 、 列F 和 列H ，候选数是 4 。 {E1, D3} 中的候选数 4 （蓝色候选数）未被覆盖，成为 鳍 。

普通消除会去掉 {F2, F5, F7, B9, F9} 中的 4 （橘色和红色候选数）。其中只有 F2 能同时看到所有 鳍格子 {E1, D3} ，所以 F2 中的 4 可以消除。

带鳍水母

图中， 基础区域 （蓝色区域）是 行1 、 行4 、 行6 和 行8 ， 覆盖区域 （绿色区域）是 列B 、 列D 、 列F 和 列H ，候选数是 3 。 {G4, I6} 中的候选数 3 （蓝色候选数）未被覆盖，成为 鳍 。

普通消除会去掉 {B2, F2, H2, B3, D3, F3, H3, F5, H5, D7, D9, H9} 中的 3 （橘色和红色候选数）。其中只有 H5 能同时看到所有 鳍格子 {G4, I6} ，所以 H5 中的 3 可以消除。

变异鱼（选学）

我们将在未来添加关于 变异鱼 的内容。

鱼技巧理论（选学）

看的定义

当两个格子$c_1$ 和 $c_2$，$c1 \ne c2$，同时属于区域$R$时，我们称$c_1$可以看到$c_2$, 且$c_2$可以看到$c_1$，或者说$c_1$和$c_2$相互可见。

基础鱼的定义

基础鱼 是指对于候选数 $k$ ，存在一个区域集合（基础区域）$R_{基础}$（里面的区域不相交），$k$ 在 $R_{基础}$ 中所在格子集为 $C_{基础}$ 。存在另外一个区域集合（覆盖区域）$R_{覆盖}$（里面的区域不相交），$k$ 在 $R_{覆盖}$ 中所在格子集合为$C_{覆盖}$。且 $|R_{基础}| = |R_{覆盖}|$，且 $C_{基础} \subset C_{覆盖}$，则这个形式称为鱼。

基础鱼技巧的证明

命题 ：对候选数 $k$ ，存在基础区域集合 $R_{基础}$ 和覆盖区域集合 $R_{覆盖}$形成鱼（简单），设 $k$ 所在的格子集合分别为 $C_{基础}$ 和 $C_{覆盖}$ ，则$C_{覆盖} \setminus C_{基础}$中的候选数 $k$ 可以消除。

证明 ：

设 $n = |R_{基础}|$

根据数独规则，数字 $k$ 在每个区域中都需要正好填写一次。

因为 $R_{基础}$ 中有 $n$ 个相互不相交的区域，所以，$R_{基础}$ 中正好要填写 $n$ 个 $k$ ，也就是 $C_{基础}$ 中正好要填写 $n$ 个 $k$ 。

同理可知 $C_{覆盖}$ 中也正好要填写 $n$ 个 $k$ 。

而 $C_{基础} \subset C_{覆盖}$，所以我们知道，$k$ 不可能填写在 $C_{覆盖} \setminus C_{基础}$ 中。

所以 $C_{覆盖} \setminus C_{基础}$ 中的候选数$k$可以消除。

一般鱼定义

一般鱼 是指对于候选数 $k$ ，存在一个区域集合（基础区域）$R_{基础}$，$k$ 在 $R_{基础}$ 中所在格子集为 $C_{基础}$ 。存在另外一个区域集合（覆盖区域）$R_{覆盖}$，$k$ 在 $R_{覆盖}$ 中所在格子集合为$C_{覆盖}$。且 $|R_{基础}| = |R_{覆盖}|$，则这个形式称为鱼。

一般鱼技巧的证明

命题 ：对候选数 $k$ ，存在基础区域集合 $R_{基础}$ 和覆盖区域集合 $R_{覆盖}$形成一般鱼。

设 $k$ 在 $R_{基础}$ 和 $R_{覆盖}$ 中所在的格子集合分别为 $C_{基础}$ 和 $C_{覆盖}$ 。

设 $C_{外鳍} = C_{基础} \setminus C_{覆盖}$。

设 $C_{内鳍}$ 为所有$C_{基础}$中存在于多个基础区域中的格子集。

设 $C_{自噬}$为$C_{覆盖}$中存在于多个覆盖区域中的格子集。

设 $C_{鳍} = C_{外鳍} \cup C_{内鳍}$ 。

设 $C_{预消} = (C_{覆盖} \setminus C_{基础}) \cup C_{自噬}$ 。

设 $C_{看鳍}$ 表示所有能同时看到 $C_鳍$ 的格子的格子集

若 $C_{鳍} = 0$，则可以消除 $C_{预消}$ 中的 $k$ 。

若 $C_{鳍} \ne 0$，则可以消除 $C_{预消} \cap C_{看鳍}$ 的格子中的 $k$ 。

证明 ：

设 $n = |R_{基础}|$

情况 1： 假设 $k$ 不填写在 $C_{鳍}$ 中

根据数独规则，每个区域正好需要填写1个 $k$

因为 $k$ 不填写在 $C_{鳍}$ 中，所以 $k$ 所填写的格子都只属于1个基础区域（也就是不属于任何两个基础区域之间的交集）

所以，$C_{基础}$ 中正好要填写 $n$ 个 $k$。

因为 $C_{鳍}$中没有填写 $k$，

所以，$C_{覆盖}$ 实际覆盖了 $C_{基础}$ 中填写 $k$ 的格子

所以 $C_{覆盖}$ 中至少填写 $n$ 个 $k$ 。

而根据数独规则，显然 $C_{覆盖}$中最多填写$|C_{覆盖}| = n$ 个 $k$

所以 $C_{覆盖}$ 正好填写了 $n$ 个 $k$。

所以 $C_{覆盖}$ 中填写的 $k$ 的格子不可能填写在 $C_{自噬}$ 中（即不可能填写在任何两个覆盖区域的交集），否则 $C_{覆盖}$中填写的 $k$的个数达不到 $n$。

所以可以消除 $C_{自噬}$ 中的 $k$ 。

另外 $C_{覆盖} \setminus C_{基础}$ 中也不可能填写 $k$，否则它们两个中填写的 $k$的数量不可能相等

所以可以消除 $C_{覆盖} \setminus C_{基础}$ 中的 $k$

所以，合并得

$(C_{覆盖} \setminus C_{基础}) \cup C_{自噬} = C_{预消}$ 中的 $k$ 可以消除

情况 2： 假设 $k$ 在$C_鳍$中至少填写1次

则所有 $C_{看鳍}$ 中的$k$可以消除

综合以上两种情况：

若 $C_鳍 = 0$，则以上第2种情况是不可能的，只可能是第1种情况，所以，$C_{预消}$ 中的 $k$ 可以消除。

若 $C_鳍 \ne 0$，

如果一个格子同时属于 $C_{预消}$ 和 $C_{看鳍}$，则这个格子中的 $k$ 无论在以上哪种情况下都可以被消除

即 $C_{预消} \cap C_{看鳍}$ 中的 $k$ 可以消除