链技巧（高级）

X链

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交推链 是非常重要的解题技巧，能帮我们在很多情况下找到突破口，是数独中级水平的必学内容。今天我们先学习其中比较简单的一种—— X链 。掌握了 X链 ，以后再学其他 交推链 技巧就容易多了。

基础概念

在学习 X链 之前，我们先要了解几个核心概念： 看见 、 强链 、 弱链 和 交推链 。

看见

看见 （See，也可以叫 看到 ）是数独中必须掌握的基本概念，讨论排除逻辑时经常会用到。

当两个格子在同一个区域时，我们就说它们可以相互 看见 。

图中，格子 D3 和格子 E1 都在 宫2 里，所以它们可以相互 看见 。

格子 D3 和格子 I3 都在 行3 里，所以它们也可以相互 看见 。

而格子 E1 和格子 I3 没有共同的区域，所以它们不能相互 看见 。

注意：一个格子是无法 看见 自己的。

强链

当两个假设之间存在 非 a 即 b 的关系时，我们称之为 强链 （Strong Link）。

强链 的定义：如果 a 为 假 ，那么 b 为 真 ，就说从 a 到 b 形成了 强链 。

记作： a = b （这里的等号不表示数学相等，也不表示满足对称性，也就是说 a = b 时不一定 b = a ）

我们来看标准数独中产生 强链 的两种情况。

图中，候选数 C4/3 到候选数 C8/3 形成了 强链 ，记作 C4/3 = C8/3 。

因为在 列C （蓝色区域）中，候选数 3 只出现在 C4 和 C8 这两个格子里，所以这两个格子中至少有一个要填 3 。所以，如果 C4/3 为 假 （即 C4 不填 3 ），那么 C8/3 必须为 真 （即 C8 填 3 ），这符合 强链 的定义，所以得到 强链 C4/3 = C8/3 。

反过来也成立：候选数 C8/3 到候选数 C4/3 也形成 强链 ，记作 C8/3 = C4/3 。

这就是同一个区域中，一个候选数只出现在两个格子时形成 强链 的情况。

图中，格子 E3 （蓝色格子）里只有 2 和 9 两个候选数。这两个候选数至少有一个为 真 ，也就是说 E3 要么填 2 要么填 9 。如果 E3/2 为 假 （即 E3 不填 2 ），那么， E3/9 为 真 （即 E3 填 9 ）。符合 强链 的定义，所以得到 强链 E3/2 = E3/9 。

反过来也成立：记作 E3/9 = E3/2 。

这是一个格子中只有两个候选数时形成 强链 的情况。

弱链

当两个假设之间存在 a 为 真 则 b 为 假 的关系时，我们称之为 弱链 （Weak Link）。

弱链 的定义：如果 a 为 真 ，那么 b 为 假 ，就说从 a 到 b 形成了 弱链 。

记作： a - b

我们来看标准数独中产生 弱链 的两种情况。

图中，观察候选数 3 在 宫1 （蓝色区域）的分布，格子 A1 、 A3 和 B3 包含候选数 3 （绿色候选数）。根据数独规则， 宫1 中 3 只能填一次，所以这 3 个候选数中只有 1 个为 真 。所以，如果其中任意一个候选数为 真 ，则另外两个候选数必须为 假 。符合 弱链 的定义，所以，任意两个候选数之间都能形成 弱链 。

图中显示的 弱链 为 B3/3 - A1/3 。

这是同一个区域中，一个候选数出现在多个格子（至少2个格子）时形成 弱链 的情况。

图中，格子 H5 （蓝色格子）里有 1 、 3 、 7 、 9 四个候选数，其中只能有一个为 真 。如果其中任意一个候选数为 真 ，那么其它候选数必然为 假 。符合 弱链 的定义，所以任意两个候选数之间都能形成 弱链 。

图中显示的 弱链 为 H5/1 - H5/9 。

这是一个格子中有多个候选数（至少2个候选数）时形成 弱链 的情况。

交推链

把 强链 和 弱链 交替连接起来，就形成了 交替推导链 （Alternating Inference Chain，简称 交推链 ，英文 AIC ）。

例子：

交推链 a = b - c = d

说明：这条链中的每个字母表示一个假设或者候选数

我们可以根据这个链条得到 强链 a = d 。怎么推理？

先假设 a 为 假 。

根据 强链 a = b ，如果 a 为 假 ，那么 b 为 真 。

根据 弱链 b - c ，如果 b 为 真 ，那么 c 为 假 。

最后根据 强链 c = d ，如果 c 为 假 ，那么 d 为 真 。

我们从 a 为 假 推出 d 为 真 ，符合 强链 定义，所以 a = d ，即从 a 到 d 形成 强链 。

推广：

对于一个链条，如果第一个链和最后一个链都是 强链 ，中间强弱交替，那么我们总是可以把它看成单个 强链 ——如果第一个假设为 假 ，那么最后一个假设必须为 真 。

X链

X链 （X-Chain）是一种特殊的 交推链 ，它只涉及 同一个数字 。因为只关注单一数字，所以也叫 单数链 （Single Digit Chain）。

另外， X链 的首尾链接必须是 强链 。

一般X链

图中是一个长度为 5 的 X链 示例，长度指的是链接的数量。

交推链 为： H6/9 = H5/9 - C5/9 = C7/9 - A8/9 = D8/9

根据 交推链 推理，我们可以得到 强链 ：

H6/9 = D8/9

即如果 H6/9 为 假 ，那么 D8/9 必须为 真 。换句话说， H6 和 D8 这两个格子中必然有一个填 9 。

所以，任何能同时看到 H6 和 D8 的格子中的候选数 9 都可以排除，也就是 D6 中的 9 可以排除。

多宝鱼

当 X链 的长度为 3 时，我们称之为 多宝鱼 （Turbot Fish），这是 X链 最短的情况。

图中的 交推链 为： H6/2 = H9/2 - A9/2 = B8/2

所以我们可以得到 强链 ：

H6/2 = B8/2

也就是说， H6 和 B8 这两个格子中必然有一个填 2 。因此 B6 中不可能填 2 ，因为它能同时看到 H6 和 B8 。

摩天楼

当 多宝鱼 的两个 强链 是 列链 （或 行链 ）， 弱链 是 行链 （或 列链 ）时，我们称之为 摩天楼 （Skyscraper）。

说明 ：

• 行链 （Row Link）是指同一个候选数在一 行 内形成的链接
• 列链 （Column Link）是指同一个候选数在一 列 内形成的链接
• 宫链 （Block Link）是指同一个候选数在一个 宫 内形成的链接。

图中的 交推链 为： G6/7 = B6/7 - B8/7 = H8/7

可以排除 G7 和 H5 中的 7 。推理过程相同，这里省略。

图中的 交推链 为： C7/2 = C5/2 - F5/2 = F8/2

可以排除 E7 中的 2 ，推理过程相同，这里省略。

双线风筝

当 多宝鱼 中的两个 强链 一个是 行链 ，一个是 列链 ，而中间的 弱链 为 宫链 时，我们称之为 双线风筝 （Two-String Kite）。

图中的 交推链 为： A5/3 = A7/3 - B8/3 = G8/3

可以排除 G5 中的 3 。推理过程相同，这里省略。

图中的 交推链 为： E3/3 = I3/3 - H1/3 = H5/3

可以排除 E5 中的 3 。推理过程相同，这里省略。

交推链1类

一般交推链1类

在X链的基础上（请确保您已经掌握了 X链 ），我们可以推广技巧，形成 交推链1类 。

你可能已经发现，X链 能产生消除的核心是首尾候选数相同，而中间是什么不重要。所以，我们可以推广得到 交推链1类 ：

• 一个交推链
• 首尾均为强链
• 首尾候选数相同

让我们来看一个例子：

交推链： H5/9 = I5/9 - I5/4 = F5/4 - F9/4 = F9/9

注意：和之前的 X链 不同，这个 交推链1类 的例子链接包含了不同的候选数，也有格子内的链接。

根据交推链的推理可得 强链 ：

H5/9 = F9/9

即如果 H5/9 为 假 ，那么 F9/9 必须为 真 。换句话说， H5 和 F9 这两个格子中必然有一个填 9 。

所以，任何能同时看到 H5 和 F9 的格子中的候选数 9 都可以排除，也就是 H9 中的 9 可以排除。

XY链

XY链 （XY-Chain）是一种特殊的 交推链1类 ，它的强链都是只有两个候选数的格子形成的 。让我们通过一个例子来学习。

交推链： F4/4 = F4/1 - C4/1 = C4/7 - C7/7 = C7/2 - G7/2 = G7/4

可以排除 G4 中的候选数 4 。

双数链

双数链 （Remote Pair，也叫远程数对）是一种特殊的 XY链 ，唯一的区别就是它只涉及两个候选数 。

目前尚未找到例子。

W翼

W翼 （W-Wing）是一种特殊的 交推链1类 。

它的特点是：

• 首尾的强链都是只有两个候选数的格子形成的
• 中间的链接都是同一个候选数形成的
• 长度为5

让我们来看一个例子：

交推链： B1/2 = B1/3 - D1/3 = D8/3 - F7/3 = F7/2

可以排除 F1 中的候选数 2 。