XYZ翼技巧

斯特克XYZ翼

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在数独的技巧中， XYZ翼 (XYZ-Wing) 家族是非常有意思的一类技巧，在解题中有时能起到关键的作用。今天我们要学习 斯特克XYZ翼 (StrmCkr’s XYZ-Wing)，以及它的两种特殊形式： XY翼 和 XYZ翼 。

斯特克WXYZ翼

斯特克WXYZ翼 是数独爱好者斯特克 (StrmCkr) 提出的一种技巧，是 XYZ翼 的扩展。掌握了这个技巧，你就能轻松掌握 XY翼 和 XYZ翼 。

让我们通过例子来学习 斯特克WXYZ翼 的核心原理。

观察图中标有绿色候选数的 4 个格子，记作 {A7, F7, A9, B9} 。这些格子里的候选数是 {1, 3, 5, 9} 。也就是说， 4 个格子正好有 4 个不同的候选数，这和 显集 相似，只是这些格子不在同一个区域内。

让我们逐个看看这些候选数的分布有什么特点。对于候选数 1 ，我们发现它都出现在 宫7 里。

我们说候选数 1 在格子集 {A7, F7, A9, B9} 中是 受限 （Restricted）的，意思是数字 1 在这个格子集中最多只能填一次。

候选数 5 都出现在 行7 里，所以 5 也是 受限 的。

候选数 9 也都出现在 宫7 里，所以 9 同样是 受限 的。

而候选数 3 呢？没有一个区域能包含所有候选数 3 ，所以 3 是 不受限 （Unrestricted）的，也就是可能会填多次。

现在要开始最核心的推理了。

这 4 个格子必须填 4 个数字。我们知道 1 、 5 、 9 都是 受限 的，最多只能各填一次。那么 不受限 的 3 至少要填一次。

为什么 3 至少要填一次？我们用反证法。假设 3 一次都不填，那么这四个格子就只能填 1 、 5 、 9 这三个数字。但这三个数字都是 受限 的，最多只能各填一次，这样最多只能填三个格子，总会有一个格子没数字可填，谜题就无解了。所以假设不成立，也就是 3 至少要填一次。

因此，任何能同时看到这 4 个格子中所有含候选数 3 的格子的格子，都可以排除 3 。

格子 B7 能看到所有含候选数 3 的格子，所以 B7 里的 3 可以排除。

推广

斯特克XYZ翼 的一般定义：当 n 个格子有 n 个候选数时，如果其中 n - 1 个候选数是 受限 的，只有 1 个是 不受限 的，这样的模式称为 斯特克XYZ翼 。

我们通常把这个 不受限 的候选数记作 Z 。我们可以推理得知， Z 在这 n 个格子中至少要填一次。

XYZ翼

XYZ翼 是 斯特克XYZ翼 在 n = 3 时的一种特殊情况。

XYZ翼的特点

1. 一个中心格子含候选数 {X, Y, Z} 。
2. 中心格子能看到另外两个格子，分别含候选数 {X, Z} 和 {Y, Z} 。
3. 这 3 个格子不在同一区域中。

看例子：

图中 B5 是中心格子， C4 和 G5 是另外两个格子。

为什么 XYZ翼 是 斯特克XYZ翼 的特殊情况？

观察这个例子。 3 个格子 {B5, C4, G5} 不在同一区域，共有 3 个候选数 {1, 3, 5} 。其中 1 、 3 是 受限 的， 5 是 不受限 的，符合 斯特克XYZ翼 的定义。

所以 5 在这 3 个格子中至少要填一次。

因此，格子 A5 和 C5 里的 5 可以排除，因为它们能看到所有含 5 的格子。

XY翼

XY翼 (XY-Wing)也是 斯特克XYZ翼 在 n = 3 时的一种特殊情况。

XY翼的特点

1. 一个中心格子含候选数 {X, Y} 。
2. 中心格子能看到另外两个格子，分别含候选数 {X, Z} 和 {Y, Z} 。
3. 这 3 个格子不在同一区域中。

看例子：

图中 F2 是中心格子， D1 和 F8 是另外两个格子。

XY翼 为什么是 斯特克XYZ翼 的特殊情况，和 XYZ翼 类似，这里就不详细解释了。

根据 斯特克XYZ翼 ，唯一 不受限 的候选数 4 在这 3 个格子中至少要填一次，也就是说， D1 和 F8 中必然有一个要填 4 。

所以，能同时看到它们的格子 D8 和 F3 里的 4 可以排除。

奥比万XYZ翼

让我们通过一个例子来学习 奥比万XYZ翼 （Obiwahn’s XYZ Wing），请确保你已经掌握了 斯特克XYZ翼。

奥比万UVWXYZ翼

格子集 {G4, B5, I5, A6, H6, I6} 中，有候选数 {1, 3, 4, 5, 6, 8} （图中绿色的候选数）。

这个格子集不在一个区域中，且格子数量和候选数数量相等都是 6。

另外，我们观察到，这些候选数都是受限的。

这意味着每个候选数都必须正好填一次（类似于 显集 ）。

为什么？

我们用反证法证明。我们知道这些候选数每个最多只能填一次，假设 {1,3,4,5,6,8} 中至少存在一个候选数，它在格子集 {G4, B5, I5, A6, H6, I6} 中一次都不填。那么，其它候选数最多只能填满5个格子，有 1 个格子将会没有数字可填，谜题无解。所以，假设不成立，也就是，每个候选数都至少填一次，而每个候选数最多只能填一次，所以，每个候选数都正好填一次。

然后，我们就可以依次根据每个候选数进行消除了。

例如，对于候选数1，所出现的格子为 {G4, I5}，所以，同时看到这两个格子的格子中的候选数 1 可以消除，即 I4 中的 1 可以消除。

其它候选数也是一样。图中红色候选数表示所有可以消除的候选数。

一般XYZ翼技巧的理论（选学）

一般XYZWing定义

一个格子集合 $C$ ，它不是任何一个区域的子集，其候选数集合为 $S$ ，有 $|C| = |S|$ 。且最多存在1个候选数$z$，$z \in S$，在 $C$ 中存在至少2个相互不可见的格子中包含$z$。这种模式称为 一般XYZ翼 。

情况一：z存在

定理1: 存在一个格子集合 $C$ ，它不是任何一个区域的子集，其候选数集合为 $S$ ，有 $|C| = |S|$。恰好存在1个候选数$z$，$z \in S$，在 $C$ 中存在至少2个相互不可见的格子中包含$z$。则$C$ 中至少有一个格子要填$z$。

证明: 我们知道，其他候选数所在的格子都是相互可见的，也就是其他候选数在$C$中最多只能填1次。

假设$z$不填写在$C$中。

那么我们最多只能填入$n-1$个不同的数字。

但我们有$n$个格子需要填数，所以，至少有一个格子无法填入任何数。

这与数独必须填满所有格子的规则矛盾。

因此，候选数$z$必须在某个格子中被选择。

推论1: 如果一个格子可以看到所有$C$中包含$z$的格子，则该格子中的$z$可以消除。

情况二：z不存在

定理2: 存在一个格子集合 $C$ ，它不是任何一个区域的子集，其候选数集合为 $S$ ，有 $|C| = |S|$。不存在候选数$z$，$z \in S$，在 $C$ 中存在至少2个相互不可见的格子中包含$z$。则在$C$中， $S$ 中的数字恰好每个数字填1次。

证明: 由于我们有$n$个格子和$n$个候选数，且每个候选数最多填1次，所以每个候选数必须正好填一次，才能填满所有格子。

推论2: 对于每个候选数$s_i \in S$，如果一个格子能同时看到$C$中包含$s_i$的所有格子，则该格子中的$s_i$可以消除。